Ungleichheit messen – der Gini Koeffizient.

Im Kontext des Themas Sozialstaat liegt eine Betrachtung des Gini-Koeffizienten nicht sonderlich fern. Regierungen arbeiten, Mathematiker rechnen und Banken kalkulieren mit ihm – ein Koeffizient, der sich einen Namen in der Welt gemacht hat und zugleich den Namen seines Erfinders trägt. Corrado Gini (geboren am 23. Mai 1884 und gestorben am 13. März 1965 in Italien) legte eine steile Karriere als Statistiker und Soziologe hin. Bereits im Alter von 26 Jahren war er Universitätsprofessor, er veröffentlichte im Laufe seines Lebens zahlreiche Forschungen.[1] Auf das Leben und das Werk Ginis soll hier allerdings nicht näher eingegangen werden. Ebenso wenig wird hier dessen Nähe zum italienischen Faschismus untersucht. Unser Interesse gilt an dieser Stelle lediglich der Erfindung des Koeffizienten.

Mit diesem Koeffizienten lässt sich, vereinfacht gesagt, die Verteilung von Gütern auf Gruppen bewerten. Er ist ein statistisches Konzentrationsmaß.[2] Der Koeffizient gibt auf einer Skala von Null bis Eins an, ob die Verteilung, beispielsweise von Einkommen, gleich oder ungleich ist. In den meisten Berechnungen steht die Null für eine perfekte, also totale Gleichverteilung der Güter, während die Eins den entgegengesetzten Pol, die totale Ungleichverteilung, darstellt. Auf das Beispiel „Einkommen in einer Volkswirtschaft“ angewendet bedeutet dies, dass bei einem Gini-Koeffizienten von Null alle Individuen gleichviel bekämen. Würde für diese Wirtschaftszone ein Koeffizient von 1 berechnet, bedeutete dies, dass eine einzelne Person das insgesamt zur Verfügung stehende Einkommen erhielte, während alle anderen nichts bekämen. Beide Pole sind in der Realität, zumindest bei einer Berechnung der Verteilung von Einkommen, nicht anzutreffen.

 

 

Anzumerken bleibt an dieser Stelle noch, dass in vielen Berechnungen auch mit einer Skala von 0 bis 100 gearbeitet wird.

Beispielberechnung

Im Folgenden wird eine Methode gezeigt, wie der Koeffizient errechnet werden kann. Bleiben wir hierfür bei dem oben gewählten Beispiel (Berechnung von Einkommen in einer Wirtschaftszone/einem Staat), da dies auch tatsächlich dem größten Anwendungsbereich des Gini-Koeffizienten entspricht.

Zur Veranschaulichung des Berechnungsweges wird in diesem Beispiel mit extrem vereinfachten Zahlen gearbeitet. Es wird von vier Gruppen bzw. Personen und einem Gesamteinkommen von 100€ ausgegangen. Alle Personen bekommen von diesen 100€ gleichviel – 25€. Die vier Personen sind die Gesamtbevölkerung dieses Beispiels.

Im ersten Schritt werden nun die Personen in eine Tabelle eingetragen.

 

Im darauffolgenden Schritt überträgt man diese Daten, genau genommen die Daten der dritten und fünften Spalte, in ein Kartesisches Koordinatensystem (Grafik 1). Die Y-Achse gibt hierbei das Einkommen angehäuft in Prozent an (Spalte 5) und die X-Achse die Bevölkerung angehäuft in Prozent (Spalte 3).

 

Diese grafische Darstellung der Verteilung von Gütern, bzw. Einkommen, nennt man Lorenzkurve, benannt nach ihrem Erfinder Max Otto Lorenz.[3] Wie oben erwähnt ist in der Realität eine solche Kurve nirgends zu finden. Sie spiegelt die perfekte Verteilung von Einkommen wieder und wird im Folgenden als Kurve der totalen Gleichverteilung bezeichnet.

 

Diese Lorenzkurve ist eine lineare Kurve (Beispiel folgt, siehe Grafik 2).

Der oben genannte Schritt, wenn er auch etwas redundant erscheinen mag, ist notwendig, soll ein Gini-Koeffizienten berechnet werden. Bekommen die Personen des Beispiels nun nicht mehr jeder 25€, sondern Person A, B und C nur noch jeweils 10€ und Person D 70€, dann sieht die Kurve und damit der Gini-Koeffizient bedeutend anders aus. In die Tabelle eingetragen ergibt sich in Spalte 5 eine deutliche Abweichung.

 

 

Grafik 2

Grafik 2

Werden die Daten der Spalte 5 und 3 nun wieder in das Koordinatensystem eingegeben, ändert sich auch das Aussehen der Kurve drastisch.

Die Berechnung des Gini-Koeffizienten ist hier also die Berechnung der Fläche (Grafik 3) zwischen der Kurve der totalen Gleichverteilung und der Kurve, welche die tatsächliche Verteilung anzeigt (im Folgenden Lorenzkurve). Die gesuchte Fläche soll „C“ heißen. Demnach sei die gesamte Fläche unter der Kurve der totalen Gleichverteilung Fläche „A“ und die Fläche unter der Lorenzkurve sei Fläche „B“.

Die gewünschte Fläche C ergibt sich durch folgende Berechnung: A – B = C. Die Fläche C ist also das Ergebnis der Subtraktion der Fläche unter der Lorenzkurve von der Fläche unter der Kurve der totalen Gleichverteilung.

 

Grafik 3

Grafik 3

Fläche B wird durch Unterteilung in Hilfsflächen (X, Y und Z) errechnet (siehe Grafik 4).

Fläche X erhalten wir, wenn die Basis (0.75) mit der Höhe (0.3) und das Ergebnis mit 0,5 multipliziert wird. Das gleiche gilt für Fläche Y, nur mit den Werten 0,25 und 0,7. Fläche Z ist noch simpler durch Basis (0,25) mit Höhe (0,3) multipliziert zu errechnen.

 

Grafik 4

Grafik

X = 0,5 (0,75 x 0,3)

X = 0,1125           

 

Y = 0,5 (0,25 x 0,7)

 Y= 0,0875              

 

Z = 0,25 x 0,3                                                       

Z = 0,075

 

Addiert ergeben diese drei Flächen dann die gesuchte Fläche unter der Lorenzkurve „B“  [X+Y+Z] = 0,275

 

A = (1 x 1) x 0,5                   

A = 0,5

 

C = A – B

C = 0,5 – 0,275

C = 0,225

 

Nun muss lediglich „B“ von „A“ abgezogen werden um „C“ zu erhalten. Die Fläche „A“ unter der Kurve der totalen Gleichverteilung ergibt sich aus der Multiplikation der Basis (1) mit der Höhe (1) und dessen Ergebnis mal genommen mit 0,5.

Die gesuchte Fläche, also die Distanz zwischen der totalen Gleichverteilung und der tatsächlich festgestellten Verteilung, ist also 0,225.

 

Der Gini-Koeffizienten kann nun errechnet werden. Hierzu muss die Fläche C noch auf die Fläche unterhalb der totalen Gleichverteilung angewendet werden. Wir teilen also C durch A.

𝐺𝑖𝑛𝑖−𝐾𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑧𝑖𝑒𝑛𝑡 = 0,225:0,5  = 0,45

Die in diesem Beispiel betrachtete Wirtschaftszone hat also einen Gini-Koeffizienten von 0,45.

Zusammengefasst lässt sich also folgende Formel aufstellen:

Fläche unter totaler Gleichverteilung „A“
minus Fläche unter festgestellter Verteilung „B“
geteilt durch „A“

 

Nun ließ sich diese Berechnung deshalb gut durchführen, weil es in unserem Beispiel wenige Gruppen (in diesem Fall Personen) gab. Stellt man sich eine Berechnung des Gini-Koeffizienten eines gesamten Staates vor, kann schwerlich mit diesem Vorgehen gearbeitet werden. Bei derartigen Berechnungen wird dann auch nicht mehr mit einzelnen Personen gearbeitet (für Deutschland würde dies eine Berechnung mit ca. 82 Millionen einzelnen Personen bedeuten),[4] sondern mit vorher eingeteilten Gruppen. Auf den Punkt der Datenreduktion wird später noch eingegangen. Doch auch wenn nicht mehr mit einzelnen Personen, sondern mit Gruppen gearbeitet wird, sähe das oben gezeigte Koordinatensystem deutlich unübersichtlicher aus, sodass eine Berechnung der einzelnen Flächen mit der oben vorgeführten Methode kaum zu bewältigen wäre.

Bei großen Datenmengen und somit komplexen Berechnungen empfiehlt sich eine andere Formel[5] zur Bestimmung des Gini-Koeffizienten:
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n = Gruppen/Personen

i = ausgewählte Gruppe

x = Einkommen der ausgewählten Gruppe

µ = Gesamt-Durchschnittseinkommen

 

Eine Berechnung mit großen Datenmengen lässt diese Formel zwar ebenfalls erheblich anwachsen, erspart allerdings den Umweg der Flächenberechnung.

Ein Blick in die Fachliteratur zur Berechnung des Koeffizienten, kann unter Umständen durchaus abschreckend sein. Ist ein Verständnis der Berechnung dennoch gewünscht, empfiehlt sich ein Blick in die einfach und verständlich erklärten You-Tube Anleitungen zum Thema. Auch zur Erstellung dieses Beitrags wurde reger Gebrauch jener Anleitungen gemacht.[6]

Die beiden gezeigten Wege zum Gini-Koeffizienten sind nicht die einzigen, die es gibt. Es existieren zahlreiche weitere Möglichkeiten, Koeffizienten zu berechnen. Auch findet der Koeffizient noch in anderen Bereichen Verwendung. Allerdings ist eine Betrachtung seiner Verwendung im Ratingsystem von Banken oder in der Informationstheorie hier nicht von Interesse. Im Zentrum des Beitrags stehen der Gini-Koeffizient und seine Bedeutung für Staaten und deren Einkommensverteilung.

 

Kritik am Koeffizienten

Was sagt diese Zahl zwischen Null und Eins eigentlich aus? Spiegelt sie eine tatsächliche, eine haltbare Beurteilung der Verteilung von Einkommen wieder? Kann denn verlässlich mit einer Zahl gearbeitet werden, die eine so komplexe Datenmenge auf einen einzigen Wert herunterbricht? Der Gini-Koeffizient sagt in der Tat wenig Genaues aus. Das größte Problem ist die Frage nach den Daten. Bleiben wir bei dem Beispiel „Einkommen“. Welche Daten werden als Einkommen definiert in die Berechnung eingespeist? Gehalt und Lohn? Zinserträge und Devisen? Vor oder nach der Steuer? Zählt Taschengeld auch mit hinein? Schon aus diesem Grund klaffen Berechnungen eines Gini-Koeffizienten für ein und denselben Staat auseinander, wenn jeweils andere Daten herangezogen wurden. Das klingt logisch und beinahe wieder redundant, spiegelt aber tatsächlich ein großes Problem wieder, auch wenn moderne Statistiken und Computertechnologie dieses Problem immer mehr einzugrenzen vermögen. Internationalen Vergleichen der Gini-Koeffizienten von Volkswirtschaften können somit nur bedingt Aussagen entnommen werden. Laborbedingungen, also nach einheitlichem Vorgehen erhobene Daten, liegen nicht für alle Staaten vor.

Ein weiteres Problem liegt in der Datenreduktion. Wie bei allen Vereinheitlichungen unter dem Primat der Veranschaulichung, wird die Aussagekraft des Gini-Koeffizienten schon dadurch leicht dekonstruierbar, dass für seine Berechnung eine Einteilung der Bevölkerung des betrachteten Staates in Einkommensgruppen vorgenommen wird. Werden die Grenzen dieser Gruppierung in einer erneuten Berechnung anders gesetzt, wandelt sich auch der Gini-Koeffizient. Zudem sagt der Gini-Koeffizient nichts über Vermögen und dessen Einfluss auf Einkommen aus.[7]

Bei all der Kritik am Namensverbreiter des italienischen Statistikers muss dennoch berücksichtigt werden, was der Koeffizient eben doch bietet. Und das ist gleichermaßen ein Pro- wie auch Kontraargument: Er stellt einen simplen Wert auf einer greifbaren Skala bereit, um mit Zuständen einer komplexen Datenmasse arbeiten zu können. Dass diese Reduktion nur mit Vorsicht zu genießen ist und stets hinterfragt werden sollte, schmälert die Bedeutung des Koeffizienten zwar, obsolet wird er indes gewiss nicht.

 

Hendrik Mühlenbrock schloss 2015 seinen Bachelor in Geschichte und Regionalstudien Ost-Mitteleuropa (Schwerpunkt Ukrainistik) an der WWU in Münster ab. Seit 2015 studiert er im  Master Moderne Europäische Geschichte an der Humboldt-Universität zu Berlin. Sein besonderes Forschungsinteresse gilt der Wirtschaftsstruktur in Brandenburg-Preußen im 18. Jahrhundert. 

 

Quellen und Literatur

Boldrini, Marcello, Corrado Gini, in: Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General) 129, no. 1 (1966), S. 148-50. Internetlink: http://www.jstor.org/stable/2343927 S. 148 abgerufen am 20.1.2017.

BurkeyAcademy, How to Measure Income Inequality: Gini & Lorenz, Internetlink: https://www.youtube.com/watch?v=c_JeQCFUIr0 abgerufen am 20.1.2017.

Duden Wirtschaft von A bis Z: Grundlagenwissen für Schule und Studium, Beruf und Alltag. 6. Aufl. Mannheim: Bibliographisches Institut 2016. Lizenzausgabe Bonn: Bundeszentrale für politische Bildung 2016, Internetlink: http://www.bpb.de/nachschlagen/lexika/lexikon-der-wirtschaft/20031/lorenzkurve abgerufen am: 20.1.2017.

Gerhard Kockläuner, Der Gini-Koeffizient in: WiSt – Wirtschaftswissenschaftliches Studium, Jahrgang 45, Heft 7, München 2016, Seite 379 – 380.
Internetlink: http://elibrary.vahlen.de/10.15358/0340-1650-2016-7-379/der-gini-koeffizient-jahrgang-45-2016-heft-7 abgerufen am: 20.1.2017.

Infinitesimalia, Sophia Amalie Antoinette, Eine Zahl, viele Interpretationen: ein Maß für Ungleichheit, FAZ-Online, 17.5.2011, Internetlink: https://blogs.faz.net/deus/2011/05/17/eine-zahl-viele-interpretationen-ein-mass-fuer-ungleichheit-394/ abgerufen am 20.1.2017

Shambhavi, Measuring Income Inequality (Gini Coefficient and Lorenz Curve), Internetlink: https://www.youtube.com/watch?v=0IdeN–WbDU#t=580.041 abgerufen am 20.1.2017.

Statistische Ämter des Bundes und der Länder, Internetlink: http://www.statistikportal.de/Statistik-Portal/de_jb01_jahrtab1.asp abgerufen am 20.1.2017.

 

[1] Boldrini, Marcello, Corrado Gini, in: Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General) 129, no. 1 (1966), S. 148-50, Internetlink: http://www.jstor.org/stable/2343927 S. 148, abgerufen am 20.1.2017.

[2] Gerhard Kockläuner, Der Gini-Koeffizient in: WiSt – Wirtschaftswissenschaftliches Studium, Jahrgang 45, Heft 7, München 2016, Seite 379 – 380.
Internetlink: http://elibrary.vahlen.de/10.15358/0340-1650-2016-7-379/der-gini-koeffizient-jahrgang-45-2016-heft-7 abgerufen am: 20.1.2017.

[3] Duden Wirtschaft von A bis Z: Grundlagenwissen für Schule und Studium, Beruf und Alltag. 6. Aufl. Mannheim: Bibliographisches Institut 2016. Lizenzausgabe Bonn: Bundeszentrale für politische Bildung 2016, Internetlink: http://www.bpb.de/nachschlagen/lexika/lexikon-der-wirtschaft/20031/lorenzkurve abgerufen am: 20.1.2017.

[4] Statistische Ämter des Bundes und der Länder, Internetlink: http://www.statistikportal.de/Statistik-Portal/de_jb01_jahrtab1.asp abgerufen am 20.1.2017.

[5] BurkeyAcademy, How to Measure Income Inequality: Gini & Lorenz, Internetlink: https://www.youtube.com/watch?v=c_JeQCFUIr0 abgerufen am 20.1.2017.

[6] Sehr gut und umfangreich erklärt in diesem Video: BurkeyAcademy, How to Measure Income (siehe Anm. 5). Ebenfalls verwendet: Shankar, Shambhavi, Measuring Income Inequality (Gini Coefficient and Lorenz Curve), Internetlink: https://www.youtube.com/watch?v=0IdeN–WbDU#t=580.041 abgerufen am 20.1.2017.

[7] Infinitesimalia, Sophia Amalie Antoinette, Eine Zahl, viele Interpretationen: ein Maß für Ungleichheit, FAZ-Online, 17.5.2011, Internetlink: https://blogs.faz.net/deus/2011/05/17/eine-zahl-viele-interpretationen-ein-mass-fuer-ungleichheit-394/ abgerufen am 20.1.2017.


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